满足$f(0)=0$的光滑非解析函数$f$，其$f(x)/x$在0点的光滑性验证问询

我想确认下面这个命题是否成立：

对任意满足$f(0)=0$的$f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$，$f(x)/x$在0点处是光滑的。

• 如果$f$是解析函数，直接泰勒展开就能证明这个结论，这点很明确。
• 我的疑问主要针对非解析的光滑函数。我猜想，虽然这类函数的导数行为很“怪异”，但除以$x$后在0点可能并不会出现奇点——比如典型的光滑非解析函数$\exp(-1/x)$（补充定义0点处值为0），这个例子里$f(x)/x$确实在0点光滑。

我本来想通过多项式逼近的方法来证明，但对这个领域不太熟悉，不知道该怎么入手。

这个问题看起来有点奇怪，我一开始也不确定它是否成立，但我读的一篇论文里似乎用到了这个结论：

我在研究0点处的光滑函数芽空间$\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$（把它看作$\mathbb{R}$-向量空间），并考虑了它的子空间：
$$V = { ax + K \mid a \in \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}), K \in \mathbb{R} } \subset \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$$

论文里声称$\dim_\mathbb{R}(\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})/V) = 0$，这意味着$V = \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$——也就是说，任何0点处的光滑函数芽都能写成$V$中元素的形式。

显然所有解析函数芽都能满足这个形式，但因为确实存在非解析的光滑函数芽，我实在想不通这个结论为什么成立，除非最开始那个命题是对的。

毕竟，如果每个满足$f(0)=0$的非解析光滑函数$f$都有$f(x)/x$在0点光滑，那么任意$f \in \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$都可以写成：
$$f(x) = x \cdot \frac{f(x)-f(0)}{x} + f(0)$$
这样就自然属于$V$了。

所以回到核心问题：这个命题到底是不是真的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Azur