利用麦克劳林多项式求解微积分证明题：存在c∈(-1,1)使得f'''(c)≥3

我最近遇到这么一道微积分证明题，有点摸不着头绪：

已知函数 $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ 三阶可导，且满足 $f'(0)=0, f(1)=1, f(-1)=f(0)=0$，证明存在某个点 $c\in(-1,1)$，使得 $f'''(c)\geq3$。

这道题是泰勒级数相关的作业题，所以我猜测解法肯定要用到泰勒展开。我自己尝试了一下，过程是这样的：

• 因为题目给出了 $f'(0)$ 的信息，所以我选择在 $x=0$ 处做三阶麦克劳林展开（也就是泰勒展开），根据泰勒定理，展开式为：
  $$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2+\frac{f'''(c)}{3!}x}3=\frac{f''(0)}{2!}x^{2+\frac{f'''(c)}{3!}x}3$$
  这里的 $c$ 是泰勒定理中对应的中间点。

• 接下来我把 $x=1$ 代入展开式，得到：
  $$1=f(1)=\frac{f''(0)}{2!}+\frac{f'''(c_1)}{3!}$$
  其中存在 $c_1\in(0,1)$ 满足这个等式。

• 再把 $x=-1$ 代入展开式，得到：
  $$0=f(-1)=\frac{f''(0)}{2!}-\frac{f'''(c_2)}{3!}$$
  其中存在 $c_2\in(-1,0)$ 满足这个等式。

• 把这两个等式相加，推导得到：
  $$3!=f'''(c_1)+f'''(c_2)$$

不过到这一步我就卡住了，不知道接下来该怎么推导，也不确定自己的思路是不是正确的。有没有大佬能给点提示或者帮助呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者natitati