关于平方可和实序列定义的正弦级数的绝对连续性问题

嘿，这个问题问得挺有意思的！直接给结论：不一定成立——存在平方可和的实序列(a_n)，使得对应的正弦级数(f(x))不是绝对连续的，我来给你拆解清楚：

先看反例构造 #

我们可以构造这样的序列：对(n \geq 2)，取(a_n = \frac{1}{\sqrt{n} \log n})，(a_1)随便取一个有限值即可。

• 验证平方可和性：计算平方和
  $$
  \sum_{n=2}^\infty a_n^2 = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\log n)^2}
  $$
  用积分判别法，积分(\int_2^\infty \frac{1}{x (\log x)^2} dx = \frac{1}{\log 2})，显然收敛，所以(\sum a_n^2 < \infty)，满足题目要求。
• 为什么这个序列对应的(f(x))不绝对连续？绝对连续函数有个核心性质：它的导数（几乎处处存在）是(L^1[0,1])可积的，且函数本身能表示为导数的不定积分。对我们的(f(x))，几乎处处有
  $$
  f'(x) = \pi \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n\pi x)
  $$
  若(f' \in L^1[0,1])，则它的傅里叶系数绝对值之和必须收敛，也就是(\sum |a_n| < \infty)。但我们构造的序列满足
  $$
  \sum_{n=2}^\infty |a_n| = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n} \log n}
  $$
  用积分判别法能判断这个级数是发散的，所以(f' \notin L^1[0,1])，因此(f)不可能是绝对连续的。

再说说你之前的估计问题 #

你一开始用的估计：
$$
\sum_{k=1}^K |f(u_k) - f(v_k)| \lesssim \delta \sum_{n \geq 1} |a_n|
$$
这个方向是对的，但问题在于平方可和的序列不一定满足(\sum |a_n| < \infty)——就像上面的反例，(\sum |a_n|)发散，这时候哪怕(\delta)很小，右边的(\delta \sum |a_n|)也会是无穷大，根本没法控制左边的和，所以这个估计不足以证明绝对连续。

补充一个正向结论 #

如果把条件加强为(\sum |a_n| < \infty)，那你的估计就完全够用了：因为(\sum |a_n|)有限，对任意(\varepsilon > 0)，取(\delta = \frac{\varepsilon}{C \sum |a_n|})（其中(C)是估计里的常数），就能满足绝对连续的定义，这时候(f)确实是绝对连续的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Drew Brady