赋范空间中序列泛函级数收敛的一致有界性证明求助

我现在在解决下面这个问题：

设$X$是赋范空间，$(x_n)_{n \geq 1} \in X$，假设对任意$f \in X^$，都有$\sum_n |f(x_n)| < \infty$。证明：存在常数$C$，使得对任意$f \in X^$，都有$\sum_n |f(x_n)| < C |f|$。

我目前的思路如下：

• 考虑集合$A = {\hat{x}_n : n \in \mathbb{N}}$，其中$\hat{x}_n$是$x_n$到$X^{**}$的典范嵌入，我对$A$应用一致有界原理，得出这些$\hat{x}_n$映射是一致有界的，但这只能得到$|f(x_i)| \leq C |f|$，感觉没什么用。
• 我还尝试把$A$扩展成包含形如$x_1+\cdots+x_n$的和，同样用一致有界原理得到$|f(x_1 + \cdots + x_n)| \leq C |f|$，但还是不知道怎么收尾。
• 另外我考虑过定义映射$F:X^* \to \mathbb{R}$，$F(f) = f\left(\sum_n x_n\right)$，我觉得这个映射是良定义且线性的，然后尝试用闭图像定理，但也没成功。

有没有大佬能给点帮助呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stomfaig