关于将分段实值函数改写为非分段形式的系统性方法问询

大家好，我最近在琢磨一个分段函数相关的问题——这个问题的灵感来自某个分段线性函数与绝对值问题的解法。

Question:
假设我们有一个实值分段函数：
$$
f(x) =
\begin{cases}
f_1(x), & \text{if } x < a \
f_2(x), & \text{if } x \geq a
\end{cases},
$$
其中$f_1$在$a$的左侧连续且可导，$f_2$在$a$的右侧连续且可导。有没有一种系统性的方法，能把$f(x)$写成非分段的形式？我猜想答案大概会是类似这样的形式：
$$f(x)=f_1(x) + \text{(一些包含}f_1'\text{和}f_2'\text{的项)} \cdot \text{(一些包含}f_1,f_2\text{以及}a\text{的绝对值组合项)}$$
我会这么猜，只是因为在线性的特殊情况里确实是这样的。

Note:
当$f$是连续的分段线性函数时，这个问题就很直接了：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\alpha_1 x+\beta_1, & \text{if } x < a \
\alpha_2 x+\beta_2, & \text{if } x \geq a
\end{cases},
$$
可以改写为：
$$
= (\alpha_1 x+\beta_1)+\frac{\alpha_2-\alpha_1}{2}\cdot(|x-a|+x-a)
$$
这个式子不管是从图像上直观理解，还是通过代数例子推导都能得到，但我实在想不出怎么把这个结论推广到更一般的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Luke