关于函数$f : D \rightarrow \mathbb{R}$，$x \mapsto \frac{{x_1 \sin(x_2) + x_2 \sin(x_1)}}{{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}}$在边界$\partial D$上的连续延拓问题

嗨，我完全理解你的困惑——试了各种直线路径趋近原点，极限都是0，但又发愁总不能把所有可能的路径都验证一遍对吧？别担心，我们可以用夹逼准则来严谨证明这个极限确实是0，这样就能顺利完成函数在原点的连续延拓了，不用逐一排查所有路径~

首先明确核心问题：这里$\partial D$最关键的点就是原点$(0,0)$（假设$D = \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}$，函数在其他点都有定义且连续），我们只需要证明$\lim_{(x_1,x_2)\to(0,0)} f(x_1,x_2) = 0$，就能把$f$连续延拓到原点，延拓后的函数在原点取值为0。

具体证明步骤如下：

1. 利用三角函数的基本不等式：对任意实数$t$，都有$|\sin t| \leq |t|$。我们先对分子做绝对值估计：
   $$|x_1 \sin(x_2) + x_2 \sin(x_1)| \leq |x_1||\sin(x_2)| + |x_2||\sin(x_1)| \leq |x_1||x_2| + |x_2||x_1| = 2|x_1x_2|$$
2. 接着推导整个函数的绝对值上界：
   $$|f(x_1,x_2)| = \frac{|x_1 \sin(x_2) + x_2 \sin(x_1)|}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} \leq \frac{2|x_1x_2|}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}$$
3. 再用基本不等式$|x_1x_2| \leq \frac{x_1^2 + x_2^2}{2}$（由$(|x_1| - |x_2|)^2 \geq 0$展开可得），代入上式：
   $$\frac{2|x_1x_2|}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} \leq \frac{2 \cdot \frac{x_1^2 + x_2^{2}{2}}{\sqrt{x_1}2 + x_2^2}} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$$

现在我们得到了一个关键的不等式链：
$$0 \leq |f(x_1,x_2)| \leq \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$$

当$(x_1,x_2)$趋近于$(0,0)$时，$\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$（也就是点到原点的距离）会趋近于0。根据夹逼准则，中间的$|f(x_1,x_2)|$也必须趋近于0，即$\lim_{(x_1,x_2)\to(0,0)} f(x_1,x_2) = 0$。

这样就证明了函数可以在原点处连续延拓，延拓后的函数定义为：
$$\tilde{f}(x_1,x_2) = \begin{cases}
\frac{x_1 \sin(x_2) + x_2 \sin(x_1)}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}, & (x_1,x_2) \neq (0,0) \
0, & (x_1,x_2) = (0,0)
\end{cases}$$

至于$\partial D$上的其他点，如果$D$是包含原点在边界的任意区域，函数在其他边界点只要原本有定义，就都是连续的，不需要额外延拓。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者j.primus