关于更强形式后验收缩率的文献参考与成立条件问询

最近我在学习后验收缩率相关内容时，在一些讲义里看到了如下标准定义：

定义（后验收缩率）：后验分布 $\Pi_n\left(\cdot \mid X^{(n)}\right)$ 被称为在 $\theta_0 \in \Theta$ 处以速率 $\epsilon_n \rightarrow 0$ 收缩，当且仅当对于足够大的常数 $M$，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\Pi_n\left(\theta: d\left(\theta, \theta_0\right)>M \epsilon_n \mid X^{(n)}\right)$ 在 $P_{\theta_0}^{(n)}$ 概率下收敛到0。

现在我有两个相关的疑问，希望能得到文献参考或者解答：

1. 是否有文献研究过更强形式的收缩结果：
   对于任意 $\eta >0$，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\Pi_n\left(\theta: d\left(\theta, \theta_0\right)> \eta \epsilon_n \mid X^{(n)}\right) \rightarrow 0$ 在 $P_{\theta_0}^{(n)}$ 概率下成立。
   这个形式比标准定义更强，但我目前没找到相关文献，非常感谢任何相关参考。

2. 我更核心的问题是：在什么条件下，后验分布下会满足 $\epsilon_n^{-1} d\left(\theta, \theta_0\right) \rightarrow 0$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Grandes Jorasses