1-100范围猜数字博弈的最优理想猜测值求解

咱们先把这个博弈的规则掰扯清楚：两个玩家各自猜1到100之间的一个数，猜的数字更大的玩家获胜，获胜者能拿到的收益是 100 - max(guess₁, guess₂)；如果两人猜的数一样，就平局，双方收益都是0。

你最开始的思路是假设对手会随机均匀地猜数，然后算出自己猜a时的期望收益，最后得到最优猜测是50，但你心里犯嘀咕，觉得这个结论不对——其实你的直觉是对的，这个思路的问题在于，它默认了对手是“不理性”的随机猜，但实际博弈里，对手也是会追求自身收益最大化的理性玩家，不能用随机分布来假设。

那咱们用博弈论的思路来拆解这个问题：

纯策略纳什均衡分析（双方用固定数猜测） #

假设我猜x，对手猜y：

• 如果y > x：对手赢，收益是100 - y，我收益0
• 如果y < x：我赢，收益是100 - x，对手收益0
• 如果y = x：双方收益都是0

我们要找的是“纳什均衡”——当双方都选某个数x时，没人愿意改变自己的选择，因为改变后收益不会变高：

• 比如双方都猜50：我只要改成猜51，就能拿到100 - 51 = 49的收益，比平局的0高太多，所以50绝对不是均衡点。
• 再看双方都猜99：如果我改成猜100，赢了但收益是100 - 100 = 0，和平局没区别；改成猜98直接输，收益还是0。对手也是一样，不管怎么改都拿不到更高收益，所以99是一个纳什均衡。
• 再看双方都猜100：不管谁改成其他数都是输，收益0，和平局一样，所以100也是纳什均衡。

这两个均衡里99更优：如果对手不理性猜了小于99的数，我能拿到100 - 99 = 1的收益；而猜100的话，不管对手猜什么，最多只能拿0收益。

再聊你最开始的均匀分布假设 #

如果真的假设对手完全随机、均匀猜1-100的数，你的期望收益计算有一点小误差：当你猜a时，对手猜小于a的概率是(a-1)/100，此时你赢，收益100 - a；对手猜等于a的概率是1/100，收益0；对手猜大于a的概率是(100 - a)/100，你输，收益0。正确的期望收益公式是：
E[x₁] = (a-1)(100 - a)/100
对这个函数求最大值（把a当连续变量），会得到a=50.5，所以整数的话50和51的期望收益都是24.5，这是对手随机猜时的最优解，但这个场景在理性博弈里不成立。

总结一下：如果对手是理性玩家，最优的理想猜测是99；如果对手是完全随机猜的，那50或51是最优选择。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者subm442