球面连通集移除单点后连通分量添加原点点的连通性问题

嘿，我来帮你拆解这个问题并给出我的分析～

首先，我们把你提出的命题更严谨地写出来：

设$X$是球面$S^2$的连通子集，$x_0 \in X$。将$X \setminus {x_0}$分解为它的连通分量$\bigcup_{i \in I} C_i$，那么对每个$i \in I$，集合$C_i \cup {x_0}$在$S^2$中是否一定连通？

答案是这个命题是成立的，下面我给你理一理证明思路：

假设存在某个连通分量$C_k$，使得$C_k \cup {x_0}$不连通。根据连通性的定义，我们可以找到$S^2$中的两个非空不交开集$U$和$V$，满足$C_k \cup {x_0} = U \cup V$，且$x_0 \in U$，$C_k \subset V$。

接下来看原集合$X$：

• 因为$C_k$是$X \setminus {x_0}$的连通分量，所以$C_k$在$X \setminus {x_0}$中是既开又闭的。
• 那么$X \cap U$和$X \cap V$就是$X$中的两个非空不交开集：$X \cap U$包含$x_0$，$X \cap V$包含$C_k$，且它们的并集就是$X$。

这就和$X$是连通集的前提矛盾了！所以我们的假设不成立，即每个$C_i \cup {x_0}$都必须是连通的。

至于你提到的这个结论对理解闭包中连通集和原集连通性的帮助：这个结果其实反映了连通集“不可分割”的特性——当你从一个连通集里去掉一个点后，剩下的每个连通分支都和这个点“紧密相连”，把点加回去后依然保持连通，这也能帮助你理解闭包中连通性的传递逻辑（比如$C$是$X$的连通子集时，$\overline{C}$与$X$的连通性关联）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wxw030910