C¹映射中满足|f'(p)|<1的不动点p的吸引性证明验证及剩余步骤求助

这是Michael Brin和Garrett Stuck所著《Introduction to Dynamical Systems》中的习题1.5.4。

设$f: \Bbb R \to \Bbb R$是一个$C^1$映射，$p$是不动点。证明：若$|f'(p)|<1$，则$p$是吸引的；若$|f'(p)| > 1$，则$p$是排斥的。

先回忆一下吸引不动点的定义：$p$是吸引不动点当且仅当$f(p) = p$，且存在邻域$U \ni p$满足$\overline{U}$是紧集，$f(\overline{U}) \subset U$，同时$\bigcap_{n\ge 0} f^n(U) = {p}$。

我的推导过程：
假设$|f'(p)| < 1$，那么存在$\delta > 0$使得$|f'(p)| < 1- \delta < 1$。因为$f'$是连续的，所以存在$\epsilon > 0$，当$x\in (p-\epsilon,p+\epsilon)$时，有$|f'(x)| < 1-\delta$。令$U := (p-\epsilon, p+\epsilon)$。

对任意$x\in U$，根据均值定理可得：
$$|f(x) - f(p)| < (1-\delta)|x-p|$$
也就是
$$|f(x)-p| < (1-\delta)\epsilon < \epsilon$$

接下来考虑$\overline{U}$中的点$x$，存在序列${x_n} \subset U$收敛到$x$。对$|f(x_n)-p| < (1-\delta)\epsilon$两边取$n\to\infty$的极限，可得：
$$|f(x)-p| \leq (1-\delta)\epsilon < \epsilon$$
由此可以推出$f(\overline{U}) \subset U$。

我还想补充一点：对所有$x\in U$，$\lim_{n\to\infty} f^n(x) = p$，这可能会有用。用类似上面的均值定理推导，可以得到：
$$|f^n(x) - p| = |f^n(x) - f^n(p)| < (1-\delta)^n \epsilon$$
取极限后就有$\lim_{n\to\infty}|f^n(x) - p|=0$。

现在剩下的就是要证明$\bigcap_{n\ge 0} f^n(U) = {p}$。我考虑$y\in \bigcap_{n\ge 0} f^n(U)$，那么对每个$n\ge 0$，都存在${y_n} \subset U$使得$y = f^{n(y_n)$。取极限的话，${f}n(y_n)}$是收敛的，且$y = \lim_{n\to\infty} f^n(y_n)$。这就是我卡住的地方，同时也希望大家能帮我验证一下前面的推导是否正确。因为我也需要验证部分证明的正确性，所以这个问题应该不是其他帖子的重复。

感谢各位的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago