豪斯多夫空间等价性质中，由对角线集合闭性直接证明网的极限唯一性的方法咨询

我之前看到过类似的问题，但它并没有问到我现在想要的这个精确等价性的证明。

我的教材里给出了豪斯多夫拓扑空间的以下等价描述：

• (1) $X$ 是豪斯多夫空间
• (2) 对角线关系集合 $\Delta := \left{ (x,x) | x \in X \right}$ 是 $X^2$ 中的闭集
• (3) $X$ 中网的极限是唯一的

我现在想找一个从(2)直接推导出(3)的证明方法。

至于从(3)推导出(2)，我已经有了如下的证明思路：

要证明$\Delta$是闭集，只需证明$\Delta = \overline{\Delta}$。

• $\subset$方向是显然成立的；
• $\supset$方向：设$(a, b) \in \overline{\Delta}$，那么存在$\Delta$中的一个网${x_j}$收敛到$(a,b)$。由于${x_j}$是$\Delta$中的网，对每个指标$j$，都有$x_j = (z_j, z_j)$。观察可知，两个坐标对应的$X$中的网是完全相同的：第一个坐标里$z_j$收敛到$a$，第二个坐标里$z_j$收敛到$b$。根据性质(3)，极限是唯一的，因此$a = b$，所以$(a,b) \in \Delta$。

我的教材里是按(1) => (3) => (2) => (1)的循环来证明的，所以我其实已经有了一个间接的证明路径，但我想知道有没有**直接证明(2) => (3)**的方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Teo LC