紧度量空间中Borel可测集的有限正测度存在性问询

嘿，我有这么一个问题想请教各位：

设$A$是一个紧度量空间，$E \subset A$是一个Borel可测集。是否存在一个定义在$A$的Borel集上的有限正测度$\mu$，使得$\mu(E) > 0$且$\mu(A \setminus E) = 0$？

补充说明：这个问题和另一个关于“带有预定义支撑的概率测度”的问题类似，不过咱们这里不要求$E$是测度$\mu$的支撑集哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John