半正定汉克尔矩阵是否均存在带正对角元的范德蒙德分解？

最近我在看一篇论文（找不到它的arXiv版本），对里面的一个定理正确性存疑。先铺垫下相关概念：

• 汉克尔矩阵：是一种方阵，每条从左到右的上升反对角线上的元素都相等。
• 范德蒙德分解：指将汉克尔矩阵$H$分解为$H=V^TDV$的形式，其中$D$是对角矩阵，$V$是范德蒙德矩阵。

论文里的定理I.1表述如下：

定理I.1 对于任意秩$r$（$1 \leq r < n$）的$n$阶半正定汉克尔矩阵$H \in \mathbb{R}^{n \times n}$，存在$n \times r$阶范德蒙德矩阵$V \in \mathbb{R}^{n \times r}$和对角元全为正的$r$阶对角矩阵$D \in \mathbb{R}^{r \times r}$，使得$H=V^TDV$。

我现在的疑问是：这个定理的结论真的成立吗？

我构造了一个反例：当$n=3$、$r=1$时，取汉克尔矩阵$H$为：
$$H=\begin{pmatrix}
0&0&0\
0&0&0\
0&0&1
\end{pmatrix}$$
这个矩阵是半正定的，同时满足汉克尔矩阵的定义，但如果要求$D$的对角元必须为正，它根本不存在对应的范德蒙德分解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者narip