关于单词的极值组合问题：非归纳法证明及相关资料请求

我目前在研究一个极值组合问题，具体是要找到满足以下三个条件的序列 $a_1 a_2 \dots a_m$ 的最大长度 $m$：

1. 每个元素满足 $1\le a_i\le n$（其中 $n$ 是正整数）；
2. 序列中没有相邻的重复元素，也就是不存在 $1\le i \le m-1$ 使得 $a_{i}=a_{i+1}$；
3. 定义有序对 $(x,y)$ 为「好对」，如果序列中存在下标 $1\le i<j<k\le m$ 满足 $a_i=x, a_j=y, a_k=x$。要求如果 $(x,y)$ 是好对，那么 $(y,x)$ 一定不是好对。

我已经通过对 $n$ 进行数学归纳的方法完成了一个证明，但现在希望能找到非归纳的、更具全局视角的证明思路。另外，如果这个问题是组合数学领域里的经典问题，也希望能了解相关的背景信息或者相关结论~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者C TI