Allen Hatcher《代数拓扑》3.1节符号澄清与上同调群ℤ₂来源疑问
嘿，我来帮你把这个问题理清楚！先从你提到的那个“垂直等号”说起——那个符号其实就是同构符号（≅），意思是两个代数结构（这里是群）在本质上完全一样，你可以把它理解成“它们是同一个东西的不同叫法”，不用纠结这个符号的形式，核心是表示等价关系。
接下来咱们聊聊那个让人困惑的ℤ₂到底从哪来，结合你引用的这段内容和Hatcher里的万有系数定理来拆解：
首先，原文里说原链复形的同调群是：
- 0维和3维：$\mathbb{Z}$
- 1维：$\mathbb{Z}_2$
（这里默认2维同调群是平凡群${0}$，原文没提但符合后续推导）
而上同调群的计算要用到上同调万有系数定理，对于整数系数的情况，公式是：
$$H^n(X; \mathbb{Z}) \cong \text{Hom}(H_n(X; \mathbb{Z}), \mathbb{Z}) \oplus \text{Ext}(H_{n-1}(X; \mathbb{Z}), \mathbb{Z})$$
咱们逐个维度算一遍，就能看到ℤ₂的来源：
- 0维上同调$H^0$：$\text{Hom}(H_0, \mathbb{Z})$是$\mathbb{Z}$（因为从$\mathbb{Z}$到$\mathbb{Z}$的群同态就是整数乘法，和$\mathbb{Z}$本身同构），$\text{Ext}(H_{-1}, \mathbb{Z})$是0（负维同调都是平凡群），所以$H^0 \cong \mathbb{Z}$，和同调一致。
- 1维上同调$H^1$：$\text{Hom}(H_1, \mathbb{Z})$是0（因为$\mathbb{Z}_2$到$\mathbb{Z}$的同态只能把非零元映射到0，不然会矛盾：$2f(1)=f(2)=f(0)=0$，所以$f(1)=0$），$\text{Ext}(H_0, \mathbb{Z})$也是0，所以$H^1 \cong 0$。
- 2维上同调$H^2$：$\text{Hom}(H_2, \mathbb{Z})$是0（因为$H_2$是平凡群），而$\text{Ext}(H_1, \mathbb{Z}) = \text{Ext}(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z})$，这个群正好是$\mathbb{Z}_2$！这就是原文里说的“1维同调的$\mathbb{Z}_2$上移到2维上同调”的原因——Ext群把低一维同调的挠子群（这里就是$\mathbb{Z}_2$）“转移”到了高一维的上同调中。
- 3维上同调$H^3$：$\text{Hom}(H_3, \mathbb{Z})$是$\mathbb{Z}$，$\text{Ext}(H_2, \mathbb{Z})$是0，所以$H^3 \cong \mathbb{Z}$，和同调一致。
简单来说，原同调里的挠子群不会直接对应到同维度的上同调，而是通过Ext群“跳”到了高一维的上同调里，这就是那个$\mathbb{Z}_2$的由来。
In the original chain complex the homology groups are $\mathbb{Z}$'s in dimensions 0 and 3, together with a $\mathbb{Z}_2$ in dimension 1. The homology groups of the dual cochain complex, which are called cohomology groups to emphasize the dualization, are again $\mathbb{Z}$’s in dimensions 0 and 3, but the $\mathbb{Z}_2$ in the 1 dimensional homology of the original complex has shifted up a dimension to become a $\mathbb{Z}_2$ in 2 dimensional cohomology.
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eden Zane
