应用格林定理处理含奇点线积分时辅助曲线方向选择导致结果矛盾的疑问

问题 #

计算曲线积分：
$$
\oint_L\frac{xdy-ydx}{4x^2+y2}
$$
其中$L$是以$(1, 0)$为圆心、半径$R > 1$的逆时针方向圆周。

我的尝试与疑问 #

我为了避开被积函数在$(0,0)$处的奇点（这个点恰好位于$L$包围的区域内），引入了一条辅助曲线：
$$
C:4x^2+y2 = \delta^2
$$
打算通过格林定理来计算原积分。但我发现选择辅助曲线$C$的不同方向时，得到的结果居然不一样：

• 若选择逆时针方向的$C$：
  $$
  \oint_L\frac{xdy-ydx}{4x^2+y2}=\oint_{L+C}-\oint_{C}=-\oint_{C}=-\pi
  $$
• 若选择顺时针方向的$C$（记为$C^{-1}$）：
  $$
  \oint_L\frac{xdy-ydx}{4x^2+y2}=\oint_{L+C^{{-1}}-\oint_{C}{-1}}=\oint_{C}=\pi
  $$

这到底哪里出错了呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kurodamaria