关于粘合圆周构造的拓扑空间的同伦等价性与基本群的问询

咱们先把问题里的基础定义和各个空间的构造理清楚，再逐个解答你的疑问：

基础商空间定义 #

给定集合$X$和两两不交的子集族$R \subseteq \operatorname{Pot}(X)$，定义$X$上的等价关系$\sim$：
$$x \sim y \Leftrightarrow x = y \text{ 或 } \exists S \in R: x \in S \text{ 且 } y \in S$$
记$X/R = X/\sim$为等价类集合；若$X$带有拓扑，则$X/R$赋予商拓扑。

我们的讨论基于单位圆周$S^1 \subseteq \mathbb{C}$展开。

空间$A, B, C$的构造与相关问题 #

构造细节 #

• 对每个$t \in [0,1]$，取单位圆周的拷贝$S_t = S^1$，令$A = \bigsqcup_{t \in [0,1]} S_t$为这些圆周的不交并。
• $B = A/{{1 \in S_t \mid t \in [0,1]}}$：把所有$S_t$中的点$1$粘合到一起，也就是不可数多个圆周的楔和（所有圆周在同一点处粘合）。
• $C = ([0,1] \sqcup A)/{{t \in [0,1], 1 \in S_t} \mid t \in [0,1]}$：把每个$S_t$中的点$1$粘合到区间$[0,1]$上的对应点$t$，相当于给区间$[0,1]$的每个点$t$“粘上”一个圆周，圆周的一个端点与$t$重合。

问题解答 #

1. 映射$\varphi: C \to B$是否为同伦等价？
   是的，$\varphi$是同伦等价。我们可以构造反向映射$\psi: B \to C$：把$B$中的粘合点映射到$[0,1]$的任意一点（比如$0$），把每个$S_t \setminus {1}$中的点映射到$C$中对应$S_t$的同一点。
   验证同伦关系：

   • $\varphi \circ \psi$同伦于$B$上的恒等映射：$B$的粘合点可以连续“展开”回$[0,1]$的过程是同伦的；
   • $\psi \circ \varphi$同伦于$C$上的恒等映射：$[0,1]$是可缩空间，我们可以把整个区间连续收缩到其中一点，这个收缩过程就是同伦的核心。

2. $\pi_1(B)$是什么？
   你猜的完全正确！$B$是不可数多个圆周的楔和，根据楔和的基本群性质，它的基本群是以每个圆周的生成元为自由生成元的自由群，也就是具有不可数多个生成元的自由群。

3. $\pi_1(C)$是什么？
   因为$C$和$B$同伦等价，而同伦等价的空间基本群是同构的，所以$\pi_1(C)$和$\pi_1(B)$一致，也是具有不可数多个生成元的自由群。
   换个角度看：$C$里的区间$[0,1]$是可缩的，粘合可缩空间不会改变原空间的同伦型，所以$C$的基本群和$B$完全一样。

空间$D, E$的构造与$\pi_1(E)$的计算 #

构造细节 #

• 对每个$z \in S^1$，取单位圆周的拷贝$S_z = S^1$，令$D = \bigsqcup_{z \in S^1} S_z$为这些圆周的不交并。
• $E = (S^1 \sqcup D)/{{z \in S^1, 1 \in S_z} \mid z \in S^{1}$：把每个$S_z$中的点$1$粘合到大圆周$S}1$上的对应点$z$，相当于给大圆周$S^1$的每个点$z$“粘上”一个小圆周，小圆周的一个端点与$z$重合。

$\pi_1(E)$的结果 #

我们用Seifert-van Kampen定理来计算：

• 取开集$U$：大圆周$S^1$去掉一点（比如$-1$），再加上每个$z \in S^1 \setminus {-1}$对应的$S_z$去掉粘合点的部分。$U$同伦等价于不可数多个圆周的楔和（因为$S^1 \setminus {-1}$是可缩的开区间，粘上去的圆周相当于在区间端点处的楔和，最终可缩为楔和空间）。
• 取开集$V$：$-1$对应的$S_{-1}$去掉粘合点的部分，再加上大圆周$S^1$在$-1$附近的邻域。$V$是可缩空间（邻域是开区间，加上去掉一点的圆周，整体可缩到$-1$点）。
• $U \cap V$是去掉$-1$邻域的对应部分，同伦等价于一个点（可缩）。

根据Seifert-van Kampen定理，$\pi_1(E) \cong \pi_1(U) *_{\pi_1(U \cap V)} \pi_1(V)$。由于$\pi_1(V)$是平凡群，$\pi_1(U \cap V)$也是平凡群，所以$\pi_1(E)$同构于$\pi_1(U)$——也就是具有不可数多个生成元的自由群。更具体地说，它的生成元包括大圆周$S^1$的生成元，以及每个小圆周$S_z$对应的生成元，所有生成元之间没有关系，完全自由。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Elia Immanuel Auer