关于域F上2阶矩阵环M₂(F)是两个极小左理想直和的疑问

嗨，我来帮你把这个问题讲明白～

首先我们先构造出这两个极小左理想，再一步步验证它们满足条件：

• 第一步：定义两个左理想
  记 (I_1) 是所有第二列全为0的2阶矩阵构成的集合，也就是：
  [
  I_1 = \left{ \begin{pmatrix} a & 0 \ b & 0 \end{pmatrix} \mid a,b \in F \right}
  ]
  记 (I_2) 是所有第一列全为0的2阶矩阵构成的集合：
  [
  I_2 = \left{ \begin{pmatrix} 0 & c \ 0 & d \end{pmatrix} \mid c,d \in F \right}
  ]

• 第二步：验证它们是左理想
  对于任意 (A \in M_2(F)) 和 (B \in I_1)，矩阵乘法 (AB) 的第二列等于 (A) 乘以 (B) 的第二列（全0向量），结果必然也是全0向量，所以 (AB \in I_1)，符合左理想的定义。同理可证 (I_2) 也是左理想。

• 第三步：证明它们是极小左理想
  拿 (I_1) 举例：假设 (J) 是 (I_1) 的一个非零左理想，取 (J) 中任意非零矩阵 (M = \begin{pmatrix} a & 0 \ b & 0 \end{pmatrix})（(a,b) 不全为0）。
  因为 (F) 是域，我们可以找到 (F) 中的元素，通过左乘初等矩阵得到标准基矩阵 (E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix})（比如如果 (a \neq 0)，左乘 (\begin{pmatrix} a^{-1} & 0 \ -b a^{-1} & 1 \end{pmatrix}) 就能得到 (E_{11})）。
  而 (E_{11}) 可以生成整个 (I_1)——任何 (I_1) 中的矩阵都能写成 (aE_{11} + bE_{21})（其中 (E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix})，且 (E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix} E_{11})），所以 (J) 必然等于 (I_1)，说明 (I_1) 没有非平凡的左理想子环，是极小左理想。同理 (I_2) 也是极小左理想。

• 第四步：证明它们的直和等于整个矩阵环
  首先，(I_1 \cap I_2) 只能是零矩阵——一个矩阵既在 (I_1) 又在 (I_2)，意味着它的两列都是全0，只能是零矩阵。
  其次，任何 (M \in M_2(F)) 都可以拆成 (M = M_1 + M_2)：其中 (M_1) 是保留 (M) 的第一列、第二列置0的矩阵（属于 (I_1)），(M_2) 是保留 (M) 的第二列、第一列置0的矩阵（属于 (I_2)）。
  这就满足了直和的定义：(M_2(F) = I_1 \oplus I_2)。

这样就完整证明了 (M_2(F)) 是两个极小左理想的直和啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mahtab