利用反常积分求解函数在区间(0,a)上的弧长

我现在要解决的问题是：求函数 $y = a - 2\sqrt{ax} + x$ 在区间 $(0, a)$ 上的弧长，已知 $a > 0$。

• 第一步我先算出了函数的导数：$ y' = 1 - \frac {\sqrt{a}}{\sqrt{x}} $
• 接着代入弧长公式 $l = \int_{0}^{{a}\sqrt{1+(y'(x))}2} dx$，得到了对应的积分式：
  $$l =\int_{0}^{a}\sqrt{2-2\sqrt{\frac{a}{x}}+\frac{a}{x}} dx$$

这个积分是反常积分，因为当x趋近于区间下限0时，$\sqrt{\frac{a}{x}}$ 和 $\frac{a}{x}$ 都会趋近于无穷大。

我尝试把积分式变形：
$$ l = \int_{0}^{{a}\sqrt{2x-2\sqrt{ax}+a}*x}{-1/2} dx $$
之后按照思路做了换元：令 $y=\sqrt{\frac{a}{x}}$，推导得到 $dx=-\frac{a}{y^2}dy$，代入后得到：
$$l = -a*\int_{\infty}^{{1}\sqrt{2-2y+y}2}*\frac{1}{y^{2}dy=a*\int_{1}}{\infty}\sqrt{2-2y+y^{2}*\frac{1}{y}2}dy$$
但这个积分看起来并不收敛，应该是我的换元步骤哪里出错了。

现在我想请教：该怎么正确求解这个反常积分？另外，我看到一个类似的问题，不用积分得到的答案是 $l = \sqrt{2}a$，这个结果是否正确？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Average_C_Enjoyer