求解方程$y+3=3\sqrt{(y+7)^2}$得到矛盾解的原因咨询

兄弟，我太懂你算出解却代入不对的那种懵圈感了！问题出在你对平方根的一个常见误解上——$\sqrt{x^2}$可不是直接等于$x$，它其实等于$|x|$（也就是$x$的绝对值），这是很多人容易踩的坑！

咱们一步步拆解问题：

• 首先，原方程$y+3=3\sqrt{(y+7)^2}$，正确的变形应该是$y+3=3|y+7|$，因为根号下平方的结果一定是非负的，对应就是绝对值，不能直接去掉根号就等于里面的表达式。
• 接下来我们需要分两种情况讨论绝对值的取值：
  1. 当$y+7\geq0$（也就是$y\geq-7$）时：
     绝对值可以直接去掉，方程变成$y+3=3(y+7)$，也就是你之前计算的那步，解得$y=-9$。但这里有个关键前提：我们现在讨论的是$y\geq-7$的情况，而$-9<-7$，完全不满足这个条件，所以这个解是增根，必须舍去。
  2. 当$y+7<0$（也就是$y<-7$）时：
     绝对值去掉后要加上负号，方程变为$y+3=3\times(-(y+7))$，展开后是$y+3=-3y-21$，移项计算得$4y=-24$，$y=-6$。但同样，我们的前提是$y<-7$，而$-6>-7$，也不符合这个条件，所以这个解也得舍去。

这么一来，两种情况都没有符合条件的解，说明原方程没有实数解。你之前的错误就是忽略了$\sqrt{x^2}=|x|$这个核心点，直接把根号下的平方当成了原表达式，导致算出的解不符合原方程的隐含条件，代入后自然就出现矛盾啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ronald christenkkson