张量与向量的点积是否具交换性？指标记法及运算选择疑问

首先得澄清一个关键误解：你提到的 A.n 和 n.A 并不是传统意义上的向量点积（点积是两个同维度向量之间的运算，结果是标量），而是二阶张量（矩阵）与向量的缩并/乘法运算——这两者本质是完全不同的操作，自然不满足交换性。

咱们用指标记法再拆解得更清楚些：

• A.n = A_i,j * n_j：这里遵循爱因斯坦求和约定，对重复的j指标求和，最终得到的是一个以i为自由指标的向量。简单说，这是把矩阵A的列向量，用n的分量作为系数做线性组合，结果是和A行数一致的列向量。
• n.A = n_i * A_i,j：同样是求和，但这次是对i指标求和，得到的是以j为自由指标的向量。这相当于把n当作行向量，去线性组合矩阵A的行向量，结果是和A列数一致的行向量。

举个具体的数值例子就一目了然了：假设A是2×2矩阵：

A = [[1, 2],
     [3, 4]]

向量n = [5, 6]^T（列向量）：

• A.n的结果是 [1*5 + 2*6, 3*5 + 4*6] = [17, 39]（列向量）
• 若把n当作行向量[5,6]，n.A的结果是 [5*1 + 6*3, 5*2 + 6*4] = [23, 34]（行向量）
  显然两者结果完全不同。

那该怎么选择用A.n还是n.A？核心看你要实现的运算逻辑：

• 如果是想让矩阵A对列向量n做线性变换（比如求解线性方程组Ax=b、空间坐标变换这类场景），或者用n的分量组合A的列向量，就用A.n（矩阵右乘列向量）——这也是线性代数应用里最常见的情况。
• 如果需要用n的分量去组合A的行向量，或者把n作为行向量参与运算（比如计算加权的行向量统计值），就用n.A（行向量左乘矩阵）。

另外还要注意维度匹配：矩阵乘法要求前一个 operand 的列数等于后一个的行数，所以m×n的矩阵A只能右乘n维列向量，左乘m维行向量——维度不匹配的话运算根本无法进行，这也从侧面印证了两者是完全独立的操作。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anand Bharadwaj