2D坐标点线性变换：从灰度坐标系转换至粉色坐标系

咱们先把问题拆解清楚：你要把灰度坐标系（A为原点，x=0,y=0）中的所有点，转换到粉色坐标系（B为原点）。这个过程核心分两步走，先处理原点偏移，再根据两个坐标系的轴方向调整坐标（如果轴方向不一致的话）。

第一步：确定关键参数 #

先在灰度坐标系里记录下B点的坐标，假设为 (B_x, B_y) —— 也就是从左上角A点出发，向右走B_x个单位、向下走B_y个单位的位置（毕竟图像类坐标系通常y轴向下）。

同时要确认粉色坐标系的轴方向：

• 如果粉色坐标系的x、y轴和灰度坐标系完全同向（比如x向右、y向下），只需要做原点平移。
• 如果粉色y轴是向上的（和灰度y轴方向相反，这是数学坐标系的常见设定），还要额外加上轴方向翻转。

情况1：两个坐标系轴方向完全一致 #

这是最直接的场景，把每个点的灰度坐标减去B点的灰度坐标即可：
对于灰度坐标系里的任意点 (x_gray, y_gray)，转换到粉色坐标系后的坐标 (x_pink, y_pink) 公式为：

x_pink = x_gray - B_x
y_pink = y_gray - B_y

举个例子：如果B点在灰度坐标系中是(20, 30)，某个点的灰度坐标是(50, 70)，那它的粉色坐标就是(50-20, 70-30) = (30, 40)，也就是从B点向右30、向下40的位置，完全符合粉色坐标系的原点定义。

情况2：粉色坐标系y轴向上（与灰度y轴相反） #

如果粉色坐标系是数学常用的y轴向上设定，而灰度坐标系是图像类y轴向下，就需要先翻转y轴再平移：
转换公式变为：

x_pink = x_gray - B_x
y_pink = B_y - y_gray

解释一下：灰度坐标系里y值越大，位置越靠下；粉色坐标系里y值越大越靠上，用B点的y坐标减去当前点的灰度y坐标，就能得到相对于B点的垂直位置——如果点在B点下方（y_gray > B_y），粉色y为负数，代表在原点B的下方；如果点在B点上方（y_gray < B_y），粉色y为正数，代表在原点B的上方，完全符合y轴向上的逻辑。

更通用的线性变换（轴方向任意） #

如果粉色坐标系的x、y轴和灰度坐标系不平行（比如粉色x轴向右上方、y轴向左上方），就需要用到基向量变换：

1. 先确定粉色坐标系的两个基向量在灰度坐标系中的表示：比如粉色x轴的单位向量是 (u_x, u_y)，粉色y轴的单位向量是 (v_x, v_y)。
2. 计算任意灰度点相对于B点的偏移向量：(dx, dy) = (x_gray - B_x, y_gray - B_y)。
3. 解二元一次方程组得到粉色坐标 (x_pink, y_pink)：

   dx = x_pink * u_x + y_pink * v_x
   dy = x_pink * u_y + y_pink * v_y
   

   用矩阵形式表示就是：

   [x_pink]   = [u_x  v_x]^(-1) * [dx]
   [y_pink]     [u_y  v_y]        [dy]
   

   这里的上标(-1)代表矩阵的逆矩阵。

验证方法 #

找B点本身来检验：把B点的灰度坐标(B_x, B_y)代入任意公式，得到的粉色坐标都应该是(0,0)，这是验证公式正确性的关键。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Algorithmatic