环同态下限制标量函子右伴随的内射保持性与伴随单位单态射证明问询

设$A$和$B$为环。证明：沿任意环同态$f:A \to B$的限制标量函子的右伴随保持内射对象，并且证明该伴随的单位总是单态射。

我所说的限制标量函子，指的是函子$F: B-\text{mod} \to A-\text{mod}$，它将$B$-模$M$映射为同一个集合$M$，但带有运算$a \cdot m := f(a)m$。我认为其右伴随应该是$B \otimes_A -$，其中$B$被赋予右$A$-模结构：$b \cdot a := bf(a)$。如果我的理解有误，请指正。

关于保持内射对象的证明思路 #

若$I$是内射$B$-模，则$\text{Hom}{B-\text{mod}}(-,I)$是正合函子。根据伴随性，有同构：
$$\text{Hom}{A-\text{mod}}(-, B \otimes_A I) \cong \text{Hom}{B-\text{mod}}(F(-),I)$$
而$F$是正合函子——因为$B$-模中的任意正合序列本质上是集合与函数构成的正合序列，$F$只是将其原封不动地映射到$A$-模范畴中。正合函子的复合仍是正合函子，因此$\text{Hom}{A-\text{mod}}(-,B \otimes_A I)$是正合的，这就说明$B \otimes_A I$是内射$A$-模。

待解决的疑问 #

不过我不确定如何证明该伴随的单位总是单态射，希望能得到你的见解。

谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Squirrel-Power