关于饱和理想以无关理想为嵌入素理想的推理正确性验证及几何意义咨询

嘿，我来帮你梳理这个问题——先确认你的推理正确性，再聊聊几何意义的理解~

一、你的推理完全正确 #

我拆解一下核心逻辑帮你巩固：

• 首先，Hartshorne 习题II.5.10的结论没问题：$S = k[x_0,\dots,x_n]$的饱和理想和$\mathbb{P}k^n$的闭子概形确实是一一对应的，而且$\text{Proj }S/I = \text{Proj }S/\bar{I}$，这是因为Proj构造只会考虑那些**不包含无关理想$S+$**的齐次素理想，毕竟射影空间的点就是对应这类素理想的。
• 然后Eisenbud Proposition 3.13的描述也准确：当$I = \cap I_i$是准素分解时，饱和化$\bar{I}$就是把分解中那些根（相伴素）包含$S_+$的准素分支去掉后的交集。因为$S_+$是$S$的极大齐次理想，一个素理想包含$S_+$当且仅当它就是$S_+$本身，所以$\bar{I} = \cap_{p_i \not\supset S_+} I_i$本质上就是去掉以$S_+$为根的准素分支。
• 所以如果$I \ne \bar{I}$，说明$I$的准素分解里一定存在以$S_+$为根的准素分支，也就是说$S_+$是$I$的相伴素。而因为$S_+$在$\mathbb{P}k^n$里没有对应的点（射影空间不考虑包含$S+$的素理想），这个相伴素自然是嵌入素——它不对应射影子概形的任何不可约分支，是理想里“隐藏”的、无直接射影几何对应物的素理想。

二、$S_+$作为嵌入素的几何意义 #

你提到$S_+$没有几何意义，这个观察非常关键！其实$S_+ = (x_0,\dots,x_n)$对应的是仿射空间$\mathbb{A}_k^{{n+1}$里的原点，而$\mathbb{P}_k}n$本身就是$\mathbb{A}k^{n+1}$去掉原点后做商得到的，所以$S+$在射影空间里确实没有对应的点。

那$I$有$S_+$作为嵌入素，几何上对应的是：$I$对应的仿射锥面$\text{Spec }S/I$在原点处存在一个“额外的、非射影的结构”，这个结构在射影化（即$\text{Proj}$构造）时会被完全忽略。

举个具体的小例子方便理解：
取$S = k[x_0,x_1]$，令$I = (x_0^2, x_0x_1)$，它的准素分解是$(x_0) \cap (x_0^2, x_1)$，其中第二个准素分支$(x_0^2, x_1)$的根就是$S_+ = (x_0,x_1)$。

• $I$的饱和化$\bar{I} = (x_0)$，因为我们去掉了以$S_+$为根的分支；
• $\text{Spec }S/I$对应的仿射锥面是满足$x_0^2=0$且$x_0x_1=0$的点集：也就是直线$x_0=0$（对应射影空间里的点$(0:1)$），再加上原点处的“加厚”结构；
• 但这个加厚结构在$\text{Proj }S/I = \text{Proj }S/(x_0)$里完全看不到，因为Proj直接忽略了原点对应的$S_+$。

简单来说，$S_+$作为嵌入素，反映的是仿射锥面在原点处的“冗余结构”——这部分只存在于仿射锥里，射影化后就消失了，所以它是嵌入素，而非对应射影子概形不可约分支的极小素理想。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者okabe rintarou