关于线性算子在开球上的上确界与算子范数的相关问题

最近我碰到了这么一个引理，感觉有点出乎意料：

给定$x \in X$，$x' \in B(x,r)$（这里$B(x,r)$是$x$的开球邻域），$T$是从赋范空间$X$到$Y$的线性算子，那么有$\sup{ \Vert Tx'\Vert } \ge \lVert T \rVert r$。

我现在有两个疑问想请教：

• (i) 这个不等式有可能是严格大于的情况吗？
• (ii) 如果把$x'$限定在开球的内部（不是边界），这个不等式还能成立吗？

顺带一提，这个结论总让我莫名联想到全纯函数的最大值原理，感觉有点相似的味儿。

为了简化分析，我试过令$x=0$，$r=1$来考虑。最先想到的例子是$L^2[0,1]$上的积分算子，但好像不太贴合——比如对于积分算子$Tx = \int_{0}^{1} k(t)x(t)dt$，有$\Vert Tx \Vert \le \lVert k \rVert \lVert x \rVert$，而且等号成立的条件是$x$是$k$的倍数，好像没法直接用来验证上面的引理。

后来看了下面的回答，情况清晰多了：原来$x$的选择会直接影响这个不等式的结果。举个很简单的例子：令$x \equiv 1$，考虑开球$B(1, 1)$，取$x' = 1.5$（显然在开球内部），再取核函数$k(t) = e^{t-1}$，这时候就能得到$Tx' > \Vert T \Vert r$的严格大于情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dinoman