求无限矩阵对角线遍历序列的第n个坐标的公式或算法

嘿，这个问题我太熟了！你说的这种遍历方式其实是按对角线分组来走的：每一组对角线上的坐标都满足 x + y = s（s从0开始递增），而且每组里的坐标是从(s, 0)往(0, s)依次排列的。咱们一步步拆解出公式：

第一步：找到n所在的对角线s #

首先，前s条对角线（从s=0到s=s-1）的总元素个数是等差数列求和：1 + 2 + ... + s = s*(s+1)/2，这个值就是第s条对角线的起始序号（比如s=2的起始序号是3，对应坐标(2,0)）。

要找到n对应的s，只需要解不等式：
s*(s+1)/2 ≤ n
解这个二次不等式，就能得到s的计算公式：
s = floor( (sqrt(8n + 1) - 1) / 2 )
这里的floor是向下取整，用Python里的math.floor()或者直接用整数除法都可以。

第二步：计算n在对角线上的偏移量 #

找到s之后，这条对角线的起始序号是start = s*(s+1)//2，那么n在这条对角线上的位置偏移量就是：
offset = n - start

第三步：推导坐标值 #

因为这条对角线上的坐标是从(s, 0)开始，每往后一个位置，x减1、y加1，所以对应的坐标就是：
(s - offset, offset)

直接可用的Python实现 #

把上面的逻辑写成函数，测试一下完全符合你的序列：

import math

def get_nth_pair(n):
    s = math.floor( (math.sqrt(8 * n + 1) - 1) / 2 )
    start = s * (s + 1) // 2
    offset = n - start
    return (s - offset, offset)

验证几个例子 #

• n=0 → (0, 0) ✔️
• n=5 → (0, 2) ✔️
• n=10 → (4, 0) ✔️
• n=14 → (0, 4) ✔️

另外你提到的生成函数，其实逻辑是对的——它是按对角线从s=0开始生成，每一条对角线对应循环里的i（i = s+1），总元素数确实是m*(m-1)/2 -1，和你观察到的一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user695931