若m整除n，是否总能找到n阶群G及其m阶子群H？

先从一个有趣的数论整除问题说起：

设$p$为素数，证明对任意自然数$n$，有$(p-1)^np{(n^2-n)/2} \mid \prod_{k=1}^n(pn-p^{k-1})$

用初等数论证明这个问题挺棘手的，但切换到群论视角就变得异常简单：

• 我们知道有限域$\mathbb{F}_p$上$n$阶一般线性群的阶数为$|\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}p)|=\prod{k=1}^n(pn-p^{k-1})$；
• 而$\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)$中的上三角可逆矩阵构成的子群$\operatorname{B}_n(\mathbb{F}_p)$，其阶数是$(p-1)^np{(n^2-n)/2}$；
• 根据拉格朗日定理，子群的阶数必然整除群的阶数，所以这个整除关系直接得证。

这个例子让我产生了一个更普适的疑问：是不是所有形如$m \mid n$的整除问题，都能通过群论+拉格朗日定理来解决？ 换个更明确的说法：如果$m$整除$n$，是否总能找到一个$n$阶群$G$，以及它的一个$m$阶子群$H$？

我知道一些特殊情况是肯定成立的：

• 当$m$是素数$p$时，柯西定理保证了只要群$G$的阶数$n$是$p$的倍数，$G$中就存在$p$阶子群；
• 更一般地，当$m$是$n$的素因子的幂次（即$m=p^k$，其中$k$是$p$在$n$的素因子分解中的指数），西罗定理也能保证这样的子群存在。

但我也清楚拉格朗日定理的逆命题并不普遍成立——也就是说，不是所有群都满足“只要某个数整除群的阶数，就存在对应阶数的子群”。不过我的问题是：能不能找到某个$n$阶群$G$，使得它恰好包含一个$m$阶子群（只要$m \mid n$）？我试了几对小的$n,m$，好像都能找到对应的群，但始终没办法证明或证伪这个结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Apook