关于充分大素数模下本原根加法性质的问询

本原根在分析素数$p$的模$p$乘法结构时非常实用，我一直好奇有没有办法把乘法结构和加法结构联系起来，于是琢磨出了下面这个猜想：

对于所有充分大的素数$p$，存在两个不同的模$p$本原根，它们的和也是一个模$p$本原根。

考虑到本原根在数集中通常占比不算小，这个猜想看起来相当靠谱。我初步做了计算机搜索验证，发现这个猜想对$p=11$以及$17 \le p \le 1000$的素数都成立。而素数集合${2, 3, 5, 7, 13}$是这个猜想的反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ViHdzP