关于tempered分布上序列连续线性算子连续性的教学性直接证明问询

我有这么一个问题想请教大家——下面这个命题是成立的，但我想找一个直接、适合课堂教学的证明，不用引入泛函分析里的新概念，能直接在课上讲给学生听。

在下文里，$\mathcal S'=\mathcal S'(\mathbb R)$ 表示缓增分布空间，也就是 Schwartz 函数类 $\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb R)$ 上的连续线性泛函空间。

命题 #

设 $T\colon \mathcal S'\to \mathcal S'$ 是线性且序列连续的算子，那么 $T$ 是连续的。

注：实际教学中，$T$ 通常就是傅里叶变换。这个命题对教学很有用，因为它能让我们更简洁地证明傅里叶变换 $\mathcal F\colon \mathcal S\to \mathcal S$ 可以通过取伴随算子的方式延拓成 $\mathcal S'\to \mathcal S'$ 上的连续线性映射。

现有证明（非教学友好型） #

这个结论其实可以推广到一般的可分局部凸空间，但这类证明依赖泛函分析的进阶结论，不适合课堂直接讲。$\Box$

我尝试的直接证明思路 #

$\mathcal S'$ 中原点的邻域子基由一族集合 $V_{f, \epsilon}$ 给出，其中 $\epsilon >0$，$f\in \mathcal S$，定义为：
$$
V_{f, \epsilon}:={\psi\in\mathcal S'\ :\ \lvert\langle \psi, f\rangle\rvert<\epsilon}.$$

具体来说，$T$ 连续当且仅当：对任意 $f\in\mathcal S$ 和 $\epsilon>0$，存在 $g_j\in\mathcal S$ 与 $\delta_j>0$（$j\in{1, \ldots N_{f, \epsilon}}$），使得
$$
\psi\in \bigcap_j V_{g_j, \delta_j} \Rightarrow T\psi\in V_{f, \epsilon}.$$

所以我想通过反证法来证逆否命题：假设 $T$ 不连续，那我们需要构造一个序列 $\psi_n\in\mathcal S'$，满足 $\psi_n\to 0$ 但 $T\psi_n\not\to 0$。这里应该要用到 $\mathcal S$ 是可分的这个性质，但我还没捋清楚具体怎么构造这个序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Giuseppe Negro