非负随机变量期望两种定义的等价性疑问

我最近在学习随机变量期望的时候，碰到了两个针对非负随机变量的期望定义，一直没搞明白它们为啥是等价的，想请大家帮忙解惑一下。

定义1：设$\xi \geq 0$是概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$上的随机变量，定义其期望为
$$\mathbb{E}\xi = \sup_{s\in \mathcal{S}: s\leq \xi}{\mathbb{E}s}<\infty,$$
其中$\mathcal{S}$是所有简单随机变量构成的集合。

定义2：设$\xi \geq 0$是概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$上的随机变量，${\xi_n \geq 0}$是满足对任意$\omega\in \Omega$都有$\lim_{n\rightarrow\infty}\xi_n(\omega)=\xi(\omega)$的递增随机变量序列，定义其期望为
$$\mathbb{E}\xi=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}\xi_n <\infty$$

我看的讲义里已经证明了定义2的结果和所选的递增序列$\xi_n$无关，但就是没搞懂这两个定义为啥是等价的，希望能得到大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Motoko