双射函数相等时陪域相等的证明及思路可行性验证

Hey there！看你在为期末备考的这道题犯愁，先帮你捋捋你提到的思路，再聊聊它的可行性~

备考期末呢，这道题完全不知道该从哪下手。

补充说明：抱歉，刚附上了定义。我朋友觉得可以这么证：如果集合A包含元素a，因为f是函数，那B里一定存在对应的元素b；又因为f=g，所以D里也一定有这个b；再因为g是单射（injective），那C里一定存在对应的元素a，所以B=D。这个思路可行吗？

相关定义整理（对应原图片内容） #

• 函数：设A、B为非空集合，若存在对应法则f，使得A中每一个元素a，都有B中唯一元素b与之对应，则称f是从A到B的函数，记作f: A→B，其中A是定义域，B是陪域。
• 单射（injective）：若函数f: A→B满足：对任意a₁,a₂∈A，若f(a₁)=f(a₂)则a₁=a₂，则称f是单射。
• 双射（bijective）：若函数既是单射又是满射（surjective，即B中每个元素都有A中元素对应），则称f是双射。
• 函数相等：两个函数f和g相等当且仅当它们的定义域相同，且对定义域中每一个元素a，都有f(a)=g(a)。

接下来咱们拆解你朋友的思路，补全逻辑漏洞：

• 首先，从A含a、f是函数推出B有对应b，这部分完全没问题，符合函数的基本定义——定义域内的每个元素都能映射到陪域中的元素。
• 由f=g推出D里有这个b，这也正确，因为函数相等意味着每个定义域元素的映射结果一致，所以这个b同时属于B和D。
• 但这里有个关键疏漏：从g是单射推出C里有a？不对哦！如果f=g，根据函数相等的定义，它们的定义域必须相等，也就是A=C，这是前提条件，不需要通过单射推导~
• 最后得出B=D的结论，需要结合双射的满射性质才能严谨：
  1. 因为f是双射（满射），所以B中的每一个元素都是A中某个元素的映射结果，也就是g的映射结果，因此B⊆D；
  2. 同理，g是双射（满射），所以D中的每一个元素都是C（也就是A）中某个元素的映射结果，也就是f的映射结果，因此D⊆B；
  3. 既然B和D互相包含，那自然B=D。

总结来说，你朋友的思路方向是对的，但忽略了函数相等的定义域前提，也没明确用到双射的满射性质，补上这些细节后，整个证明就严谨啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者agentviper