模m下满足n+σ(n)遍历完全剩余系的置换σ的存在性问询

给定 $m\in\mathbb{N},$ 是否存在 ${0,1,2,\ldots,m-1}$ 的一个置换 $\sigma(n)$，使得集合 ${ (n+\sigma(n))\pmod m: 0\leq n \leq m-1 } = {0,1,2,\ldots m-1}$？

我先通过Python代码对小数值的m做了验证，一开始猜想可能是“质数时存在，非质数时不存在”，毕竟前几个数的结果看起来是这样的：

• m=3时，大概有3个符合要求的置换
• m=4时，没有符合的置换
• m=5时，大概有10个符合要求的置换
• m=6时，没有符合的置换
• m=7时，有大量符合要求的置换
• m=8时，没有符合的置换

不过后来验证m=9时，发现也有大量符合要求的置换，这说明之前的质数猜想不对，更准确的结论应该是奇数m时存在，偶数m时不存在，这个结论也和目前看到的唯一答案一致。

下面是我用来验证m=5的Python代码：

import itertools
length_five_list=[0, 1, 2, 3,4]
permutations_list=list(itertools.permutations(length_five_list))

print(permutations_list)
    
for x in permutations_list:
    current_zip = zip(x,length_five_list)
    sum_list = []
    for y in current_zip:
        sum_list.append(sum(y)%5)
        if set(sum_list) == set(length_five_list):
            print('sum_list=', sum_list)
            print( 'success: permutation was', x)

另外我还有一个类似的问题：把n+σ(n)换成nσ(n)的情况，但先专注解决当前这个问题吧。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam Rubinson