尖点三次曲线上满足共线条件的群运算唯一性证明疑问

我最近在看Miles Reid《Undergraduate Algebraic Geometry》第47页的这个问题，遇到了关于唯一性证明的卡点，想请教一下：

2.11 (Group law on cuspidal cubic.) Consider the curve
$$C:(z=x^3)\subset k^2;$$
$C$ is the image of the bijective map $\varphi\colon k\to C$ by $t\mapsto (t,t^3)$, so it inherits a group law from the additive group $k$. Prove that this is the unique group on $C$ such that $(0,0)$ is the neutral element and
$$P+Q+R=0\iff P,Q,R\text{ are collinear}$$
for $P,Q,R\in C$. [Hint: You might find useful the identity
$$\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^3\
1 & b & b^3\
1&c&c^3\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).]$$
In projective terms, $C$ is the curve $(Y^2Z=X3)$, our old friend with a cusp at the origin and an inflexion point at $(0,1,0)$, and the point of the question is that the usual construction gives a group law on the complement of the singular point.

首先提一下，原问题里定义$C$的方程应该是$y=x^3$，这是个小笔误。我理解的从加法群$k$继承来的群运算应该是：
$$(a,a^3)+(b,b3):=(a+b, (a+b)^3)$$

验证这个运算满足“$P+Q+R=0$当且仅当$P,Q,R$共线”的条件我觉得还算直接，用提示里的行列式等于零等价于三点共线就能搞定。但卡在了唯一性的证明上，目前我的思路是这样的：

假设$\odot$是$C$上另一个满足条件的群运算，且$(0,0)$是单位元。取曲线上的任意两点$(s,s^3)$和$(t,t3)$，设它们在$\odot$运算下的结果为：
$$(s,s^3)\odot(t,t3)=(x_{s,t},x_{s,t}^3)$$
我们的目标是证明$x_{s,t}=s+t$。

如果$s\neq t$，连接$(s,s^3)$和$(t,t3)$的直线与曲线$C$的第三个交点是$(-s-t,(-s-t)^3)$。根据共线条件，应该有：
$$(s,s^3)\odot(t,t3)\odot(-s-t,(-s-t)^3)=(0,0)$$
代入我们设的结果，就得到：
$$(x_{s,t},x_{s,t}^{3)\odot(-s-t,(-s-t)}3)=(0,0)$$
这说明$(-s-t,(-s-t)^{3)$是$(x_{s,t},x_{s,t}}3)$在$\odot$运算下的逆元。但我怎么才能直接推出$(x_{s,t},x_{s,t}^{3)=(s+t,(s+t)}3)$呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user249238