构造满足∑ᵢ(F(bᵢ)-F(aᵢ)) < ε的半开区间序列以证明μ*(∅)=0的方法咨询

我最近卡在了这个测度论问题上：

Let $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a bounded, nondecreasing, and right-continuous function that satisfies $\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$. Define a function $\mu^:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to[0,+\infty]$ by letting $\mu^(A)$ be the infimum of the set of sums $\sum_{n=1}^{\infty}(F(b_n)-F(a_n))$, where ${(a_n,b_n]}$ ranges over the set of sequences of half-open intervals that cover $A$, in the sense that $A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}(a_n,b_n]$. Prove that $\mu^*(\emptyset) = 0$.

我的思路是这样的：

For each positive number $\epsilon$ there is a sequence ${(a_i,b_i]}$ of half-open intervals (whose unions necessarily includes $\emptyset$) such that $\sum_i(F(b_i)-F(a_i)) < \epsilon$.

但我没法给出具体的构造，不知道怎么找到这样的序列满足对任意$\epsilon>0$，和都小于$\epsilon$。有没有大佬能帮我解惑？

我明白你卡在哪了——这个问题的核心就是利用F的性质构造出满足条件的覆盖序列，其实方法非常直接：

首先要明确一个关键点：空集是任何集合的子集，所以任何半开区间序列都自动覆盖空集，我们只需要找一个序列，让它对应的和小于任意给定的$\epsilon>0$就行。

根据题目给出的F的性质：$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$，且F是非减、有界的。那对于任意$\epsilon>0$，我们总能找到一个足够小的实数$t$，使得$F(t) < \epsilon$（毕竟当x趋向负无穷时F(x)趋近于0，这是极限的定义）。

接下来构造一个最简单的单元素区间序列：${(t-1, t]}$。这个区间显然覆盖空集（空集包含在任何集合里），对应的和就是：
$$F(t) - F(t-1)$$
因为F是非减函数，且$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$，所以对所有实数x，$F(x) \geq 0$，因此$F(t-1) \geq 0$，于是：
$$F(t) - F(t-1) \leq F(t) < \epsilon$$
完全满足“和小于$\epsilon$”的要求。

如果你偏好无穷序列的构造也可以：比如先找到N使得$F(-N+1) < \epsilon$，然后取序列${(-n, -n+1]}_{n=1}^N$，这个有限序列的和是$F(-N+1) - F(-N)$，同样因为$F(-N) \geq 0$，所以和小于$F(-N+1) < \epsilon$，也能满足条件。

另外还有个更简洁的思路：考虑空序列（即不含任何区间的序列），它的和定义为0，显然小于任意$\epsilon>0$，而且空序列也覆盖空集（空集不需要任何区间就能被覆盖）。不过有些教材可能对“序列”的定义要求非空，所以前面的单元素区间构造会更稳妥。

这样一来，对任意$\epsilon>0$，我们都能找到满足条件的覆盖序列，根据外测度的定义，$\mu^{*(\emptyset)$是所有这类和的下确界，既然我们能找到任意小的和，那$\mu}*(\emptyset)=0$就得证了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Beerus