单位圆周上∫_C 1/sin z积分的求解方法问询

我现在要计算积分 $\int_C \frac{1}{\sin z}$，这里的积分路径 $C$ 是单位圆周，也就是 $C := {z \in \mathbb{C} : |z| = 1}$。

我知道 $\frac{1}{\sin z}$ 在 $z=0$ 处有一个极点，理论上可以用柯西留数定理来求解，但我实在搞不定它的洛朗级数展开...

想问下有没有什么更巧妙简便的方法来处理这个积分呀？

提前谢谢大家啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user982931