基于特定构造方式的强生成集构造对称群子群G的随机真子群生成集及随机子群链的方法咨询

假设 $G \leq S_n$ 且 $S$ 是 $G$ 的一个强生成集。在开始讨论前，我先说明一下我的场景中 $S$ 的构造方式：

• 假设我们有一个子群链 $G = G_0 \geq G_1 \geq G_2 \geq \dotso \geq G_m = {e}$。考虑商群 $G_i / G_{i+1}, 0 \leq i \leq m-1$。对每个 $i$，从 $G_i$ 中选取单位元 $e$，再从 $G_i / G_{i+1}$ 的其他每个陪集中各选一个元素，构成一个元素表。这个元素表就是 $G$ 的一个强生成集。
• 设 $G_{1...i} \leq G$ 是由所有满足 $g(1)=1,\dotso,g(i)=i$ 的元素 $g \in G$ 组成的子群。那么 $G \geq G_1 \geq G_{12} \geq \dotso \geq G_{1...n} = {e}$ 是一个子群链，$S$ 就是基于这个子群链构造的。

我的问题是要构造一种方法，通过修改 $S$ 来得到 $G$ 的一个真子群的生成集。限制条件是这个方法要能让我随机选择 $G$ 的子群，目标是递归重复这个过程，构造出一个随机子群链（即每个子群都是根据某种规则随机选取的）。

我知道如果 $\langle S \rangle = G$，那么对任意非空子集 $S' \subset S$，都有 $\langle S' \rangle \leq G$。所以第一个想法是从 $S$ 中移除一些元素，看看结果如何。但问题在于，无法保证这个子集生成的是 $G$ 的真子群。

我不太确定该如何推进。我不知道是否存在通用方法，或者适合我这种特定强生成集的方法。这个问题应该不难，但我需要一些方向指引。任何帮助都将不胜感激！提前感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者H-a-y-K