留数定理的应用：角形扇区法求解积分的疑问

我正在学习留数定理在物理中的应用，特别是角形扇区法。我理解了如何找到一个合适的角度，使得沿该角度的无限半段可以当作实轴来处理，但我遇到了一个不知道怎么用这个方法求解的积分：

$$\int{\frac{1-x}{1+x^3}}$$

我尝试了以下步骤：

$$ \oint{\frac{1-z}{1-z^3} dz}=\int_{0}^{{\infty}{\frac{1-x}{1-x}3}dx} + \int_{\infty}^{0{\frac{1-z}{1+z}3}dz}=2\pi i \Sigma_jRes(f, z_j)$$

然后在最后一个积分中令 $z=re^{2\pi i/3}$，得到：

$$ \oint{\frac{1-z}{1-z^3} dz}=\int_{0}^{{\infty}{\frac{1-x}{1-x}3}dx} - \int^{{\infty}_0{\frac{1-re}{2 \pi i /3}}{1+r^3}dr}=2\pi i \Sigma_jRes(f, z_j)$$

我本来想得到类似 $(1-a)I=2\pi i \Sigma_j Res(f,z_j)$ 的形式，但不知道该怎么因式分解。我应该怎么做呢？

对了，这个积分的结果应该是0，也许这会有帮助...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1303052