自治常微分方程的极限求解问题咨询

嘿，你的判断其实是对的！先给你点个赞，你对稳定点的分析完全没问题——$y=1$确实是稳定平衡点，$y=0$和$y=3$是不稳定的。

咱们来仔细拆解一下初始条件$y(0)=2$的情况：

• 首先看$y=2$所在的区间是$(1,3)$，代入微分方程计算$\frac{dy}{dt}$的符号：当$y=2$时，$\frac{dy}{dt}=2\times(2-1)\times(2-3)=-2<0$，这说明在$(1,3)$这个区间里，$y(t)$是单调递减的。
• 因为$y=1$是稳定平衡点，当$y(t)$逐渐靠近$1$时，$\frac{dy}{dt}$的绝对值会越来越小，不会越过$y=1$；同时$y=3$是不稳定平衡点，而我们的解从$2$开始递减，根本不会往$3$的方向走。所以随着$t\to\infty$，$y(t)$必然趋向于稳定点$y=1$，你的结论$\lim_{t\to\infty}y(t)=1$完全正确。

再来说你提到的“如果有另一个稳定点$y=4$”的情况：
假设方程新增了稳定点$y=4$（比如修改成$\frac{dy}{dt}=y(y-1)(y-3)(4-y)$），但$y(0)=2$依然落在$(1,3)$区间里。这个区间内$\frac{dy}{dt}$的符号还是负的（比如$y=2$时，计算得$\frac{dy}{dt}=2\times1\times(-1)\times2=-4<0$），所以$y(t)$还是会单调递减趋向$y=1$。
这里的关键是吸引域的概念：每个稳定平衡点都有自己的吸引范围，$y=1$的吸引域包含$(0,3)$这个区间（因为在$(0,1)$里$\frac{dy}{dt}$是正的，解会递增到$1$；在$(1,3)$里$\frac{dy}{dt}$是负的，解会递减到$1$），而$y=4$的吸引域是$(3,+\infty)$。你的初始点$y=2$在$y=1$的吸引域里，和$y=4$的吸引域被不稳定点$y=3$隔开了，所以根本不会趋向$y=4$，极限依然是$1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mvfs314