二分图最小基数顶点覆盖的边邻接性证明问询

我现在卡在一个二分图相关的证明问题上，想请教各位：

我清楚如果图不是二分图的话，下面这个结论是不成立的，但就是搞不定二分图情况下的证明：

假设图 $G = (V,E)$ 是二分图，$C$ 是 $G$ 中的一个最小基数顶点覆盖，那么图中的每一条边 $e \in E$ 都恰好与 $C$ 中的一个顶点相邻。

我试着用反证法来推导：假设存在一条边 $(u,v)$，其中 $u$ 和 $v$ 都属于 $C$，这时候我感觉应该要证明 $C-{u}$ 或者 $C-{v}$ 依然是一个顶点覆盖，但到这一步就卡壳了，不知道该怎么往下走。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrew_Ren