关于John M. Lee《光滑流形导论》中命题7.17的群同构证明疑问

抱歉可能这个问题有点蠢，但我实在没搞懂John M. Lee《光滑流形导论》里命题7.17的证明。

我明白我们已经用命题5.18证明了$F : G \rightarrow F(G)$是到$F(G)$上的微分同胚，但我不确定该怎么证明$F : G \rightarrow F(G)$是群同构。提前多谢各位的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kdeoskar