关于$U^{-1}(U(x)+U(y))$一般性凸性的技术问询

嘿，这个问题提得相当到位——咱们从已知的例子入手，一步步拆解到一般情况，就能搞清楚答案了。

首先，先明确前提：$U(x)$是正的、严格递增、严格凸的$C^2$函数。你提到的两个例子确实成立：

• 当$U(x)=e^x$时，$U{-1}(U(x)+U(y))=\ln(e^x+ey)$，也就是经典的对数和指数函数，它的凸性是公认的；
• 当$U(x)=x^{{1+\beta}$（$\beta>0$，保证严格凸）时，$U}{-1}(U(x)+U(y))=(x^{1+\beta}+y{1+\beta})^{1/(1+\beta)}$，这也是凸函数，符合幂函数的特性。

但一般性的结论并不成立，我们可以从凸性的判定条件和反例两方面来说明：

凸性的核心判定条件 #

要判断$F(x,y)=U^{{-1}(U(x)+U(y))$是否为凸函数，我们可以通过黑塞矩阵的半正定性来分析（因为$F$是$C}2$函数）：

1. 先计算一阶偏导：令$s=U(x)+U(y)$，则$F=U^{{-1}(s)$，所以$F_x=\frac{U'(x)}{U'(F)}$（因为$(U}{-1})'(s)=\frac{1}{U'(U^{-1}(s))}$）。
2. 再计算二阶偏导，最终可以推导出：$F$的黑塞矩阵半正定的必要条件之一是$\varphi(z)=\frac{U''(z)}{(U'(z))^2}$是单调递减函数。

这个条件的逻辑是：因为$F>x$且$F>y$（$U$严格递增，$U(F)=U(x)+U(y)>U(x)$），如果$\varphi(z)$递减，那么$\varphi(F)\leq\varphi(x)$，才能保证$F_{xx}\geq0$（黑塞矩阵的主对角线元素非负），同理$F_{yy}\geq0$，再结合交叉项的条件，才能满足凸性。

反例：构造不满足条件的$U$ #

我们可以构造一个符合原前提，但$\varphi(z)$并非单调递减的$U$：
取$U'(z)=e^{z3}$，则$U(z)=\int_0^z e^{t3}dt + C$（取$C>0$保证$U(z)$恒正）。此时：

• $U''(z)=3z^2e{z^{3}$，$\varphi(z)=\frac{3z}2e^{z3}}{(e^{z3})^2}=3z2e^{-z3}$；
• 求$\varphi(z)$的导数：$\varphi'(z)=3ze^{-z3}(2-3z^{3)$，当$z<(\frac{2}{3})}{1/3}\approx0.873$时，$\varphi'(z)>0$，也就是$\varphi(z)$在这个区间是递增的。

现在取$x=y=a<(\frac{2}{3})^{{1/3}$，此时$F(a,a)=U}{-1}(2U(a))$，当$a$足够小时，$F(a,a)<(\frac{2}{3})^{1/3}$，那么$\varphi(F)>\varphi(a)$，导致$F_{xx}<0$——黑塞矩阵的主对角线元素为负，说明$F$在$(a,a)$附近是凹函数，而非凸函数。

总结 #

只有当$\varphi(z)=\frac{U''(z)}{(U'(z))^{2}$单调递减时，$U}{-1}(U(x)+U(y))$才是关于$(x,y)$的凸函数；而存在大量满足原前提的$U$不满足这个附加条件，因此一般性结论不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tfatree