关于高维空间中超平面相交概率及SVM高维投影可分性的几何验证问询

先跟大家说下背景：我没系统学过高维几何，但最近在学统计数据科学，里面好多方法都依赖高维空间的性质。

在**支持向量机（SVM）**分类任务里，核心目标是找到一个超平面，把n维的数据点（也就是向量）精准分成带标签的两组，然后用这个分隔面去预测新数据。SVM在二分类场景里表现尤其好。

但有时候，n维空间里根本不存在这样的超平面——尤其是当n很小的时候，比如2维或3维，这种情况特别常见。针对这个问题，有个挺有意思的解决思路：给每个数据点随机分配一个额外维度的值。举个例子，原本是2维空间的话，给每个点加个随机z值，把2维空间转换成3维空间，这样就更有可能找到能把数据完美分开的超平面了。

我一直在琢磨这个方法到底有多有效，想了挺久之后，我得出一个结论：如果把数据投影到K+2维空间（这里K是最大那个数据簇的规模），那应该就能保证一定存在一个超平面可以把数据分成两类。

我的推理过程是这样的：

• 假设在n+1维空间里有n个点，而且任意3个及以上的点都不共线（或者说，任意n+1个点都不在n维的同一个平面上），那这些点就能唯一确定一个n维超平面。
• 在K+2维空间里，如果嵌入了K个维度小于K的超平面，那这些超平面相交的概率是0。

这两个结论我直觉上觉得是对的，但完全不知道该怎么去验证这个推理。我能拿出来支撑的只有直觉和一些简单的试错——比如2维空间里两个点重合的概率是0，3维空间里两条直线相交的概率也是0。可让我头疼的是，这个推理和我的直觉没法推广到更高维度的情况。

所以想请教大家：有没有人能证明（或者推翻）我的这个结论？或者能不能告诉我这属于几何的哪个分支？哪怕只是教我怎么把这个问题用更正式的数学语言表述出来也行！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Evan McCormick