开映射是否一定连续？求不连续开映射的反例

嘿，这个问题问到点子上了！首先帮你明确两个核心定义，再给你几个直观的反例，就能清楚开映射和连续映射其实是完全独立的拓扑性质——开映射完全可以不连续～

先回顾核心定义 #

• 连续映射：设$X,Y$是拓扑空间，$f: X \to Y$，$f$连续当且仅当$Y$中任意开集的原像都是$X$中的开集。
• 开映射：$f: X \to Y$是开映射，当且仅当$X$中任意开集在$f$下的像都是$Y$中的开集。

这两个定义看起来有点“对称”，但本质是完全不同的方向：一个是把目标空间的开集“拉回”原空间后仍保持开，另一个是把原空间的开集“推送”到目标空间后仍保持开，所以互相不蕴含。

反例1：有理数/无理数的特征映射 #

取$X = \mathbb{R}$（赋予通常的欧氏拓扑），$Y = {0,1}$（赋予离散拓扑，也就是所有子集都是开集）。定义映射$f: X \to Y$：
$$f(x) = \begin{cases}
0, & x \text{ 是有理数} \
1, & x \text{ 是无理数}
\end{cases}$$

• 验证是开映射：$X$中的任意开集都是若干开区间的并，而每个开区间里既包含有理数也包含无理数，所以它们的像都是${0,1}$——这是$Y$中的开集（离散拓扑下所有子集都是开集）。因此$X$中所有开集的像都是$Y$的开集，$f$是开映射。
• 验证不连续：看$Y$中的开集${0}$，它的原像是$X$中的有理数集——而有理数集在欧氏拓扑里不是开集（你找不到任何一个开区间只包含有理数），所以$f$不满足连续映射的定义。

反例2：通常拓扑到离散拓扑的恒等映射 #

取$X = \mathbb{R}$（赋予通常欧氏拓扑），$Y = \mathbb{R}$（赋予离散拓扑，所有子集都是开集），定义恒等映射$f(x) = x$。

• 验证是开映射：$Y$的离散拓扑下所有子集都是开集，所以$X$中任何开集的像（就是它本身）都是$Y$的开集，因此$f$是开映射。
• 验证不连续：$Y$中的开集${0}$，原像是$X$中的${0}$——在通常欧氏拓扑里，单点集不是开集，所以$f$不连续。这个例子非常直观，完美体现了两个拓扑性质的独立性。

反例3：“折叠”区间的映射 #

取$X = [0,1) \cup [2,3]$（赋予$\mathbb{R}$的子空间拓扑），$Y = [0,2]$（赋予$\mathbb{R}$的子空间拓扑），定义映射$f$：
$$f(x) = \begin{cases}
x, & x \in [0,1) \
x-1, & x \in [2,3]
\end{cases}$$

• 验证是开映射：$X$中的开集要么是$[0,1)$里的开子集（比如$(0,1)$、$[0,0.5)$），它们的像就是$Y$中$[0,1)$里的对应开子集；要么是$[2,3]$里的开子集（比如$(2,3)$、$[2,2.5)$），它们的像就是$Y$中$[1,2)$里的对应开子集。这些像都符合$Y$的子空间拓扑的开集定义，所以$f$是开映射。
• 验证不连续：看$f$在点$2$处的连续性：$Y$中包含$f(2)=1$的开邻域比如$(0.9,1.1)$，它的原像是$(0.9,1) \cup (2.9,3)$——这个集合在$X$中不包含点$2$的任何邻域（点$2$在$X$中的邻域是$[2,2+\epsilon)$这样的集合），所以$f$在点$2$处不连续，因此整个映射不连续。

总结一下：开映射和连续映射没有必然的蕴含关系，上面的例子都清晰展示了“不连续的开映射”是存在的～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PermQi