求证元素绝对值均小于1的7阶矩阵满足det(100I+A)>0

假设$A$是一个$7\times7$的矩阵，所有元素的绝对值都小于1。证明$\det(100I+A) > 0$。

这是我在数学Stack Exchange上的第一篇帖子，如果格式不对或者之前有人问过类似问题（我没找到），请见谅。我的初等线性代数教授今天早上在课上提出了这个问题，让我们自己讨论。我知道$100I_7$的行列式是$100^7$，而且$A$的每个元素都在$-1$到$1$之间，但除此之外，我完全不知道从哪里开始。谢谢！

嘿，Sam，别担心，这个问题其实用特征值的思路就能轻松搞定，咱们一步步来梳理：

• 首先回忆一个核心结论：矩阵的行列式等于它所有特征值的乘积，也就是对于$n$阶矩阵$M$，$\det(M) = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$。咱们的目标矩阵是$100I + A$，先搞清楚它的特征值和$A$的特征值之间的关系：
  假设$\lambda$是$A$的任意一个特征值，那么$100 + \lambda$就是$100I + A$对应的特征值，这个性质应该在你的线性代数课上已经接触过啦。

• 接下来是关键的一步：用行和范数估计$A$的特征值范围。行和范数的定义是矩阵每一行元素绝对值之和的最大值。题目里说$A$的所有元素绝对值都小于1，那$A$的每一行有7个元素，每一行的元素绝对值之和肯定小于$7\times1=7$。根据线性代数里的结论：矩阵所有特征值的绝对值都不超过它的行和范数，所以$A$的任意特征值$\lambda$都满足$|\lambda| < 7$。

• 现在看$100I + A$的特征值：因为$|\lambda| <7$，所以$\lambda > -7$，那么$100 + \lambda > 100 -7 = 93 > 0$。也就是说，$100I +A$的7个特征值全都是正数！

• 最后，行列式是7个正数的乘积，结果必然是正数，所以$\det(100I+A) >0$就证出来啦～

如果还有哪里没搞明白，随时问哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam Kim