Rn中特定线性子空间的基求解及证明疑问

你完全找对方向啦！你的直觉是对的，这个子空间的维度确实是2，而且你给出的两个向量也正是它的一组基，咱们一步步来把证明理清楚：

首先，先明确这个线性子空间的定义：设该子空间为( V )，那么

( V = { (a,b,a,b,\dots,a,b) \in \mathbb{R}^n \mid a,b \in \mathbb{R} } )
（注：如果( n )是奇数，最后一个坐标就是( a )，不影响后续推导）

接下来分三步完成证明：

• 第一步：验证你给出的两个向量属于( V )
  令( \boldsymbol{v_1} = (1,0,1,0,\dots,1,0) )（若( n )为奇数，则最后一个坐标为1），这个向量对应( a=1, b=0 )，完全符合( V )中向量的坐标形式，因此( \boldsymbol{v_1} \in V )；
  令( \boldsymbol{v_2} = (0,1,0,1,\dots,0,1) )（若( n )为奇数，则最后一个坐标为0），这个向量对应( a=0, b=1 )，同样符合( V )的定义，因此( \boldsymbol{v_2} \in V )。

• 第二步：证明( \boldsymbol{v_1} )和( \boldsymbol{v_2} )线性无关
  假设存在实数( k_1, k_2 )，使得( k_1\boldsymbol{v_1} + k_2\boldsymbol{v_2} = \boldsymbol{0} )（( \boldsymbol{0} )为( \mathbb{R}^n )中的零向量）。展开后观察坐标：

  • 对于所有奇数位置的坐标：( k_1 \times 1 + k_2 \times 0 = 0 )，可得( k_1 = 0 )；
  • 对于所有偶数位置的坐标：( k_1 \times 0 + k_2 \times 1 = 0 )，结合( k_1=0 )可得( k_2 = 0 )。
    只有当( k_1=k_2=0 )时等式成立，因此( \boldsymbol{v_1} )和( \boldsymbol{v_2} )线性无关。

• 第三步：证明( V )中的任意向量都可由( \boldsymbol{v_1} )和( \boldsymbol{v_2} )线性表示
  任取( V )中的一个向量( \boldsymbol{x} = (a,b,a,b,\dots,a,b) )，我们可以直接写出：
  [
  \boldsymbol{x} = a\boldsymbol{v_1} + b\boldsymbol{v_2}
  ]
  验证一下：( a\boldsymbol{v_1} = (a,0,a,0,\dots) )，( b\boldsymbol{v_2} = (0,b,0,b,\dots) )，两者相加正好等于( (a,b,a,b,\dots) )，完全匹配( \boldsymbol{x} )的形式。这说明( V )中的所有向量都能被( \boldsymbol{v_1} )和( \boldsymbol{v_2} )张成。

综上，( { \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2} } )满足基的两个核心条件：线性无关且张成整个子空间，所以它就是( V )的一组基，子空间的维度也确实是2。

你之前的困惑可能是对这种带变量坐标的子空间不太熟悉，其实核心就是抓住向量的结构——它们都是两个固定向量的线性组合，找到这两个固定向量后，按基的定义验证就好啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Howard