关于函数$f(z)=\cos(z/(1-z))$在$z=1$处的洛朗级数展开相关问题咨询

我现在需要解决的问题是：判断函数$f(z) = \cos\left(\frac{z}{1-z}\right)$能否在$z=1$处展开为洛朗级数，如果可以的话，收敛半径是多少，以及留数是多少？

目前我已经梳理出一些初步思路，整理如下：

• 函数在$z=1$处存在孤立奇点，所以理论上确实可以在该点展开为洛朗级数。
• 我猜测在$z=1$附近有两种不同的洛朗级数展开：一种适用于$|z| < 1$的区域（收敛半径应该是1？），另一种适用于$|z| > 1$的区域（收敛半径为无穷大？）。这个结论是否正确呢？
• 如果上面的结论成立，那我该怎么针对这两个不同区域推导对应的洛朗级数？我已经知道可以把$\frac{z}{1-z}$变形为$-\frac{1}{z-1} - 1$，然后代入余弦函数的泰勒级数公式，但不确定这和不同区域的收敛性怎么结合，也不知道后续该怎么化简？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者giorgio