证明Bowen度量诱导相同拓扑的技术求助

我正在解决Bowen度量诱导相同拓扑的证明问题，具体背景如下：

给定拓扑动力系统$(X,T)$，其中$X$是紧度量空间，$T$是连续映射，原度量为$d$。对每个$n \ge 1$，定义Bowen度量：
$$d_n(x,y) = \max {d(T^k(x),Tk(y)) : k = 0,1,\ldots,n-1 }$$
记$B_{n,\epsilon}(x)$为$d_n$诱导拓扑下以$x$为中心、$\epsilon$为半径的开球。我们的目标是证明所有$d_n$诱导的拓扑都是相同的。

我的尝试 #

设$\mathcal{T}$是原度量$d$诱导的拓扑，$\mathcal{T}_n$是$d_n$诱导的拓扑（$n \ge 2$）：

• 首先我已经证明了$\mathcal{T} \subset \mathcal{T}n$：
  任取$A \in \mathcal{T}$，则存在$\epsilon > 0$使得$B{1,\epsilon}(x) \subset A$。若$y \in B_{n,\epsilon}(x)$，则$d_n(x,y) < \epsilon$，而对任意$z,w \in X$都有$d(z,w) \le d_n(z,w)$，因此$d(x,y) < \epsilon$，即$y \in B_{1,\epsilon}(x)$。由此可得$B_{n,\epsilon}(x) \subset B_{1,\epsilon}(x) \subset A$，所以$A \in \mathcal{T}_n$，即$\mathcal{T} \subset \mathcal{T}_n$。

但在证明反向包含$\mathcal{T}n \subset \mathcal{T}$时卡住了：
任取$A \in \mathcal{T}n$，则存在$\epsilon > 0$使得$B{n,\epsilon}(x) \subset A$。我需要找到一个$\epsilon' > 0$，使得$B{1,\epsilon'}(x) \subset B_{n,\epsilon}(x) \subset A$，但不知道该怎么构造这个$\epsilon'$。

有没有大佬能给点提示或者思路呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FactorY