可微函数内点取上确界时导数为0的证明问询

嘿，你已经在这个证明上走了很关键的一步啦！我先把你现有的思路清晰梳理出来，再帮你补上后续的推导环节：

你的当前推导思路：

• 假设 f'(c) > 0
• 根据导数的定义，有 limₓ→c [(f(x) - f(c)) / (x - c)] = f'(c) > 0
• 由极限的保号性可得：存在某个 δ > 0，当 |x - c| < δ 时，[(f(x) - f(c)) / (x - c)] > 0
• 你尝试取 x = c + δ/2，这个选点特别巧妙，咱们就从这里继续往下推：

接下来的补全推导：
既然 x = c + δ/2 满足 |x - c| = δ/2 < δ，把它代入上面的不等式：
[(f(c + δ/2) - f(c)) / (δ/2)] > 0
因为分母 δ/2 是正数，所以分子必然满足 f(c + δ/2) - f(c) > 0，也就是 f(c + δ/2) > f(c)。

但别忘了咱们的核心前提：c是函数f取得上确界的内点，这意味着在c的任意小邻域内，都不可能存在比f(c)更大的函数值。可咱们刚才推出了f(c + δ/2) > f(c)，这就和前提产生了矛盾！

用同样的逻辑，如果假设f'(c) < 0，咱们可以取x = c - δ/2，代入后会推出f(c - δ/2) > f(c)，同样和上确界的前提矛盾。

既然f'(c) > 0和f'(c) < 0都不成立，那只能得出f'(c) = 0的结论，这样就完成了整个证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Expln_fortnite_terms