关于Big Theta符号的困惑：为何5n²属于Θ(n²)而非Θ(n)？

嘿，我完全懂你的困惑——你只记住了Big Theta定义的一半！咱们先把完整的定义掰扯清楚，问题就迎刃而解了。

首先，你提到的规则其实是*Big Omega（下界）*的定义，而Big Theta符号要求的是同时满足上界和下界，完整的数学定义是：

f(n) = Θ(g(n)) 当且仅当存在正常数 c₁、c₂ 和 n₀ ≥ 0，使得对于所有 n ≥ n₀，都满足 c₁·g(n) ≤ f(n) ≤ c₂·g(n)

为什么f(n)=5n²是Θ(n²)？ #

咱们套进完整定义看：

• 下界：取c₁=1，n₀=0，对所有n≥0，5n² ≥ 1·n² 显然成立；
• 上界：取c₂=5，n₀=0，对所有n≥0，5n² ≤ 5·n² 也完全成立。
  两个条件都满足，所以5n²属于Θ(n²)。

为什么f(n)=5n²不能归为Θ(n)？ #

关键卡在上界条件上：你找不到一个固定的常数c₂，能让5n² ≤ c₂·n 对所有足够大的n都成立。
咱们反推一下：假设存在这样的c₂，当n > c₂/5时，5n² = 5n·n > 5n·(c₂/5) = c₂·n，这时候不等式直接不成立了。不管你选多大的c₂，只要n足够大，5n²都会超过c₂·n，所以上界条件永远满足不了。

补充一句：按照你之前的逻辑，5n²确实满足Big Omega(n)的条件（也就是下界），但Big Theta是Big O（上界）和Big Omega（下界）的交集，必须同时符合两个方向的约束才行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Debanjan Mondal