关于Loewner序为全序的正定矩阵子集的特征刻画咨询

嘿，这个问题问到点子上了！关于Loewner序（就是正定矩阵里那种A≤B等价于B-A是半正定矩阵的偏序关系）能构成全序的正定矩阵子集，确实有不少已知的结论，我给你唠唠：

• 最直观也最经典的一类是同时可对角化的正定矩阵集合：如果一组正定矩阵能通过同一个正交矩阵转化为对角矩阵，那它们在Loewner序下肯定是全序的。反过来，如果一个正定矩阵子集是Loewner全序的，并且满足一些额外条件（比如是拓扑闭集、包含单位矩阵），那它必然是同时可对角化的。

• 还有一种简单的构造方式：拿单个正定矩阵P，生成它的“缩放族”或者“幂族”——比如所有形如tP（t>0）的矩阵，或者P^s（s是实数，通过谱分解定义）的矩阵。这类子集天然就是Loewner全序的，毕竟当t₁≤t₂时，t₁P肯定≤t₂P；当s₁≤s₂时，P^s₁也≤P^s₂（正定矩阵的幂运算在Loewner序下是单调的）。

• 从函数视角来看，要是有个从正实数映射到正定矩阵的函数，而且这个函数是Loewner单调的（也就是当x≤y时，f(x)≤f(y)在Loewner序下成立），那这个函数的所有取值构成的集合就是Loewner全序的子集。不过这更多是一种构造方法，不算严格的特征刻画。

另外提一句，对于有限子集来说，Loewner全序的核心要求就是任意两个矩阵都能比较大小，这时候它们其实也一定能同时对角化——毕竟正定对称矩阵的Loewner可比较性，本质上和它们的特征向量结构高度绑定。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者yosh